Shaquille O'Neal y el espíritu de resolver un problema
Esta vez no haré una gran introducción, más que nada por miedo a spoilers o pistas innecesarias.
Este ejercicio es de la misma competición que el anterior, pero mucho más sencillo, menos denso, y ciertamente más bello. En concreto se trata del ejercicio A1 de la edición de 2004 de la Putnam Competition. Para más información sobre la competición (que servirá de contexto) podéis acudir a mi anterior artículo (y ya de paso darle una ojeada):
https://revistadesfase.blogspot.com/2018/10/putnam-competition-2016-b2-subamos-el.html
Ya haré más adelante los comentarios necesarios, así que vamos al lío:
El estadista de Los Angeles Lakers, mítico equipo de baloncesto, lleva la cuenta durante toda la temporada de los tiros libres que encesta su estrella, Shaquille O'Neal, respecto de los que lanza. Llamemos m a los tiros libres anotados y N a los lanzados. Al principio de la temporada m era menor del 80% de N, pero al final de la temporada m era mayor que el 80% de N. ¿Tiene que haber necesariamente un momento en el que m sea exactamente el 80% de N?
Las posibles respuestas de este ejercicio son: SÍ (sin demostración), NO(sin demostración),
NO(apelando a un aceptable o buen conocimiento de estadística con variable discreta), NO(dando una demostración) o SÍ(dando una demostración).
La que más se repetirá entre los lectores será seguramente la tercera, pues es lógico decir "no necesariamente", pues "si he tirado un solo tiro libre fallándolo y justo después meto uno la probabilidad pasa del 0% de 1 al 50% de 2 directamente sin pasar por cada uno de los porcentajes", dijo cierto blogger mirando con miedo el ejercicio.
Veamos matemáticamente y de forma muy sencilla qué está pasando aquí.
Al principio de temporada:
$\frac { m }{ N } <\frac { 4 }{ 5 } $ Donde m son los aciertos y 4/5 el porcentaje de aciertos por tiro (0,8), es decir, m y N son enteros.
Habrá al menos un tiro que haga pasar de un porcentaje menor a uno mayor del 80%, así que, en cierto momento, tras un tiro encestado:
$\frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { 4 }{ 5 }$
Obviamente este tiro es encestado, pues estamos aumentando el porcentaje. De estas ecuaciones concluimos:
$m\cdot 5\quad <\quad N\cdot 4$ de la primera ecuación. Y:
$(m+1)\cdot 5\quad >\quad(N+1)\cdot 4$
$m\cdot 5+1\quad >\quad N\cdot 4$ de la segunda.
Combinando ambas inecuaciones:
$5\cdot m+1\quad >\quad N\cdot 4\quad >\quad 5\cdot m$
¿Me podéis decir por qué a lo que hemos llegado es un absurdo?
Efectivamente lo es, 5m y 5m+1 son enteros consecutivos, y estamos diciendo que hay un número entero, 4N, que está entre ellos, contradictorio.
Por ende la solución al problema es sí, ha de pasar necesariamente por ese porcentaje.
Contraintuitivo, ¿eh? Una vez lo piensas bien pasa de ser extraño a poderoso. Analicemos por qué pasa esto, el problema no ha hecho más que empezar, al menos por el bien de la curiosidad.
Antes de pasar al análisis cabe destacar para la comprensión absoluta del problema que los Lakers quedaron finalistas de la NBA esa temporada, la última con Shaquille O'Neal en su plantilla.
Análisis del resultado:
Destapemos (¡y destruyamos!) un par de contraargumentos:
Uno podría ser "Pero Borto, si lo podemos demostrar para ese porcentaje podemos demostrarlo para todo, y eso no tiene sentido, pues aquello que pensaste de pasar del 0% al 50% en un tiro sigue siendo verdad".
No es verdad que lo podamos decir para todo porcentaje, sino que lo podemos decir para todo aquel cuya fracción irreducible (si la tiene) sea expresada como un número entero entre su consecutivo:
$\frac { m }{ N } <\frac { s-1 }{ s } \quad ,\quad \frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { s-1 }{ s } \quad \rightarrow \quad s\cdot m\quad >\quad (N+1)\cdot (s-1)-s\quad \rightarrow \\ \\ \rightarrow \quad s\cdot m\quad >\quad s\cdot N-N-1\quad $
Y juntándolo con la primera ecuación:
$s\cdot N-N\quad >\quad s\cdot m\quad >\quad s\cdot N-N-1\quad $
Que lleva a la misma contradicción, pues de nuevo sm es entero al igual que todos los términos y a ambos extremos de la inecuación tenemos un número y su anterior en este caso. Esto nos ha servido para generalizar.
Otra duda más avispada quizá sea decir "Pues qué listo usando la fracción irreducible, si no usamos esa y usamos una más fácil (como 0,8= 8/10) tendremos el mismo porcentaje y la diferencia ya no es de una unidad entre numerador y denominador."
Y es, desde luego, una buena pregunta. Aunque sepamos que todo lo que se puede resolver con cierta fracción se puede resolver con su irreducible, pues reciclando la generalización anterior partiendo de multiplicar en ambas ecuaciones en el numerador y denominador por n:
$ m\cdot n\cdot (s+1)\quad >\quad n\cdot s\cdot N\quad >\quad m\cdot n\cdot s$
donde se pueden simplificar las n y llegamos al mismo absurdo. De todos modos en el planteamiento de tu pregunta pones un ejemplo, el de 8/10. Veamos si qué hacemos:
$\frac { m }{ N } <\frac { 8 }{ 10 } \quad ,\quad \frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { 8 }{ 10 } \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 10\cdot m<\quad 8\cdot N \\ 10\cdot m+2>\quad 8\cdot N\quad \quad \end{cases}\rightarrow \quad 10\cdot m<\quad 8\cdot N<\quad 10\cdot m+2$
Y llegamos a que la única solución de 8N es 10m +1. ¿Qué fallo tiene esto? ¡Estamos igualando un número impar a uno par!
Esta es la demostración más sencilla de los tres problemas de la sección hasta ahora. La solución principal está en la web de la olimpiada Putnam. De normal (en los dos anteriores y los que vendrán) publico problemas que consigo resolver por un método alternativo al oficial, de forma que se puedan sacar otras enseñanzas o me centre en algún aspecto en concreto de las matemáticas. En este caso la solución es la oficial, pero la enseñanza, que es captar la esencia del arte de resolver problemas, se trasmite de forma sublime.
Muchos problemas piden demostrar matemáticamente situaciones obvias. Te podría haber pedido, por ejemplo, que demostraras matemáticamente que la estadística de tiros libres no ha de pasar necesariamente por el 25% y con el primer ejemplo que te he dado de pasar del 0 al 50% con dos tiros, quedaría lógicamente demostrado, y faltaría darle rigor estadístico.
Cuando un problema contradice la lógica verbal no solo encontramos la utilidad de las matemáticas, sino que llegamos al corazón de la ciencia.
Creo que si le pongo un nombre llamativo y poco modesto a este problema alguien más lo leerá, y si luego no está de acuerdo al menos no podrá decir que se va a la cama sin saber algo más, pero espero que coincidáis.
¿Tú qué opinas?¿Crees que falta algo por tocar en este problema?
Dejadme vuestra opinión en los comentarios y no dudéis en discutir las demostraciones si lo creéis necesario o si algo no está claro.
Este ejercicio es de la misma competición que el anterior, pero mucho más sencillo, menos denso, y ciertamente más bello. En concreto se trata del ejercicio A1 de la edición de 2004 de la Putnam Competition. Para más información sobre la competición (que servirá de contexto) podéis acudir a mi anterior artículo (y ya de paso darle una ojeada):
https://revistadesfase.blogspot.com/2018/10/putnam-competition-2016-b2-subamos-el.html
Ya haré más adelante los comentarios necesarios, así que vamos al lío:
El estadista de Los Angeles Lakers, mítico equipo de baloncesto, lleva la cuenta durante toda la temporada de los tiros libres que encesta su estrella, Shaquille O'Neal, respecto de los que lanza. Llamemos m a los tiros libres anotados y N a los lanzados. Al principio de la temporada m era menor del 80% de N, pero al final de la temporada m era mayor que el 80% de N. ¿Tiene que haber necesariamente un momento en el que m sea exactamente el 80% de N?
Las posibles respuestas de este ejercicio son: SÍ (sin demostración), NO(sin demostración),
NO(apelando a un aceptable o buen conocimiento de estadística con variable discreta), NO(dando una demostración) o SÍ(dando una demostración).
La que más se repetirá entre los lectores será seguramente la tercera, pues es lógico decir "no necesariamente", pues "si he tirado un solo tiro libre fallándolo y justo después meto uno la probabilidad pasa del 0% de 1 al 50% de 2 directamente sin pasar por cada uno de los porcentajes", dijo cierto blogger mirando con miedo el ejercicio.
Veamos matemáticamente y de forma muy sencilla qué está pasando aquí.
Al principio de temporada:
$\frac { m }{ N } <\frac { 4 }{ 5 } $ Donde m son los aciertos y 4/5 el porcentaje de aciertos por tiro (0,8), es decir, m y N son enteros.
Habrá al menos un tiro que haga pasar de un porcentaje menor a uno mayor del 80%, así que, en cierto momento, tras un tiro encestado:
$\frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { 4 }{ 5 }$
Obviamente este tiro es encestado, pues estamos aumentando el porcentaje. De estas ecuaciones concluimos:
$m\cdot 5\quad <\quad N\cdot 4$ de la primera ecuación. Y:
$(m+1)\cdot 5\quad >\quad(N+1)\cdot 4$
$m\cdot 5+1\quad >\quad N\cdot 4$ de la segunda.
Combinando ambas inecuaciones:
$5\cdot m+1\quad >\quad N\cdot 4\quad >\quad 5\cdot m$
¿Me podéis decir por qué a lo que hemos llegado es un absurdo?
Efectivamente lo es, 5m y 5m+1 son enteros consecutivos, y estamos diciendo que hay un número entero, 4N, que está entre ellos, contradictorio.
Por ende la solución al problema es sí, ha de pasar necesariamente por ese porcentaje.
Contraintuitivo, ¿eh? Una vez lo piensas bien pasa de ser extraño a poderoso. Analicemos por qué pasa esto, el problema no ha hecho más que empezar, al menos por el bien de la curiosidad.
Antes de pasar al análisis cabe destacar para la comprensión absoluta del problema que los Lakers quedaron finalistas de la NBA esa temporada, la última con Shaquille O'Neal en su plantilla.
Análisis del resultado:
Destapemos (¡y destruyamos!) un par de contraargumentos:
Uno podría ser "Pero Borto, si lo podemos demostrar para ese porcentaje podemos demostrarlo para todo, y eso no tiene sentido, pues aquello que pensaste de pasar del 0% al 50% en un tiro sigue siendo verdad".
No es verdad que lo podamos decir para todo porcentaje, sino que lo podemos decir para todo aquel cuya fracción irreducible (si la tiene) sea expresada como un número entero entre su consecutivo:
$\frac { m }{ N } <\frac { s-1 }{ s } \quad ,\quad \frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { s-1 }{ s } \quad \rightarrow \quad s\cdot m\quad >\quad (N+1)\cdot (s-1)-s\quad \rightarrow \\ \\ \rightarrow \quad s\cdot m\quad >\quad s\cdot N-N-1\quad $
Y juntándolo con la primera ecuación:
$s\cdot N-N\quad >\quad s\cdot m\quad >\quad s\cdot N-N-1\quad $
Que lleva a la misma contradicción, pues de nuevo sm es entero al igual que todos los términos y a ambos extremos de la inecuación tenemos un número y su anterior en este caso. Esto nos ha servido para generalizar.
Otra duda más avispada quizá sea decir "Pues qué listo usando la fracción irreducible, si no usamos esa y usamos una más fácil (como 0,8= 8/10) tendremos el mismo porcentaje y la diferencia ya no es de una unidad entre numerador y denominador."
Y es, desde luego, una buena pregunta. Aunque sepamos que todo lo que se puede resolver con cierta fracción se puede resolver con su irreducible, pues reciclando la generalización anterior partiendo de multiplicar en ambas ecuaciones en el numerador y denominador por n:
$ m\cdot n\cdot (s+1)\quad >\quad n\cdot s\cdot N\quad >\quad m\cdot n\cdot s$
donde se pueden simplificar las n y llegamos al mismo absurdo. De todos modos en el planteamiento de tu pregunta pones un ejemplo, el de 8/10. Veamos si qué hacemos:
$\frac { m }{ N } <\frac { 8 }{ 10 } \quad ,\quad \frac { m+1 }{ N+1 } >\frac { 8 }{ 10 } \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 10\cdot m<\quad 8\cdot N \\ 10\cdot m+2>\quad 8\cdot N\quad \quad \end{cases}\rightarrow \quad 10\cdot m<\quad 8\cdot N<\quad 10\cdot m+2$
Y llegamos a que la única solución de 8N es 10m +1. ¿Qué fallo tiene esto? ¡Estamos igualando un número impar a uno par!
Esta es la demostración más sencilla de los tres problemas de la sección hasta ahora. La solución principal está en la web de la olimpiada Putnam. De normal (en los dos anteriores y los que vendrán) publico problemas que consigo resolver por un método alternativo al oficial, de forma que se puedan sacar otras enseñanzas o me centre en algún aspecto en concreto de las matemáticas. En este caso la solución es la oficial, pero la enseñanza, que es captar la esencia del arte de resolver problemas, se trasmite de forma sublime.
Muchos problemas piden demostrar matemáticamente situaciones obvias. Te podría haber pedido, por ejemplo, que demostraras matemáticamente que la estadística de tiros libres no ha de pasar necesariamente por el 25% y con el primer ejemplo que te he dado de pasar del 0 al 50% con dos tiros, quedaría lógicamente demostrado, y faltaría darle rigor estadístico.
Cuando un problema contradice la lógica verbal no solo encontramos la utilidad de las matemáticas, sino que llegamos al corazón de la ciencia.
Creo que si le pongo un nombre llamativo y poco modesto a este problema alguien más lo leerá, y si luego no está de acuerdo al menos no podrá decir que se va a la cama sin saber algo más, pero espero que coincidáis.
¿Tú qué opinas?¿Crees que falta algo por tocar en este problema?
Dejadme vuestra opinión en los comentarios y no dudéis en discutir las demostraciones si lo creéis necesario o si algo no está claro.
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